sábado, 20 de noviembre de 2010

http://construccion-de-mapas.blogspot.com/

Una esfera construida con una rejilla y con un punto de luz en su punto superior (cenit) provoca sobre el suelo donde se apoya una sombra que es la proyección estereográfica de la misma.
En la imagen las circunferencias concéntricas que crecen a partir de los polos (paralelos) se transforman en círculos cada vez más crecientes hasta llegar a la sombra del meridiano y paralelo que pasan por el centro de la esfera, cuyas sombras son las 2 líneas rectas que pasan por el centro de la esfera.
La sombra que la luz puntual proyecta sobre el suelo adopta un dibujo llamado “falsilla” construidos con circunferencias cuyos centros se desplazan a partir de los dos ejes centrales de proyección.













Proyección ecuatorial o meridional (de Wulff):
Si la línea norte-sur de la esfera es una recta horizontal, la sombra que proyecta es un conjunto de circunferencias crecientes a partir de los polos hasta la proyección del paralelo que pasa por el centro de la esfera.















Falsilla ecuatorial con los paralelos representados en verde y los meridianos en rojo. Los centros de las circunferencias verdes están sobre la vertical que pasa por el centro mientras que los centros de las circunferencias rojas están sobre la horizontal que pasa por el centro.














Proyección polar:
Si el punto de luz está en el polo norte y los meridianos son por tanto círculos verticales, sus sombras son líneas rectas mientras que los círculos paralelos se proyectan como círculos concéntricos a partir del polo sur y con centro en el mismo.
















Se puede construir en sistema diédrico proyectando desde el cenit líneas que pasen por la intersección de los paralelos con la circunferencia. En el corte con la línea que representa la base donde se apoya la circunferencia tenemos los puntos por donde pasan las proyecciones de los paralelos.














Su representación espacial se construye girando la circunferencia sección de la esfera hasta colocarla en posición vertical.














En la imagen se puede ver como se proyectan los paralelos según circunferencias concéntricas y como la proyección de cada meridiano es una recta, por estar en el mismo plano la circunferencia proyectada y la recta de sombra en la que se transforma.














Como la sección de una esfera es una circunferencia, los planos de corte que pasan por el polo A seccionan a la misma en una circunferencia m’.
El plano que secciona a la esfera en la circunferencia m’ corta al suelo según una recta m, que es la proyección estereográfica de m’.















Si representamos en el suelo un embaldosado de losetas cuadradas tenemos que un par de rectas del mismo a-P y b se cortan en ángulo recto. Si por el punto de corte de sus circunferencias transformadas b’ y P’-a’, hacemos 2 tangentes m n, podemos observar que se cortan según el mismo ángulo de 90º.
La transformación estereográfica conserva los ángulos (es isógona o conforme) y las circunferencias se transforman en circunferencias o rectas.
















Proyectar desde el centro de la esfera.
Para calcular el clima y la posición del sol el observador se coloca en el centro de la esfera de manera que todo el paisaje del horizonte al observador se proyecta desde el ecuador al polo sur, mientras que el firmamento se proyecta del ecuador al polo norte. Podemos observar las circunferencias concéntricas equidistantes A, B, etc., que se transforman en A’, B’,…
Si llenamos el suelo de circunferencias concéntricas la recta límite sería imagen de la del horizonte y quedaría en el ecuador de la esfera. Los meridianos se transforman también en rectas pero s’ proyecta el firmamento por encima del ecuador.














Proyección en planta de las circunferencias concéntricas y la esfera de la figura anterior.













Si por el contrario proyectamos desde el polo superior O sobre un plano tangente a la esfera en la base, todos los puntos del plano tienen su imagen en la esfera excepto el centro O que se proyecta en el infinito. Cuanto más lejos esté la circunferencia a representar (como b), más cerca está su proyección estereográfica de O.













Siguiendo el procedimiento anterior proyectamos paralelos ortogonales y observamos su transformación en circunferencias crecientes a través de un eje.












Levantamos el plano de la circunferencia y observamos los conos que cortan al plano según circunferencias y a sus transformadas secciones de la esfera.















Proyección espacial de los paralelos desde el centro de proyección O.














Transformación estereográfica de las circunferencias a en a ‘, b en b’, etc.














Una aplicación usual la tenemos en la cartografía que busca la mejor forma de representar mapas.
Para ello se representa la posición del lugar en la falsilla ecuatorial, como ejemplo, Orense se ubica sobre los paralelos y meridianos, localizado en la latitud norte 41º y longitud oeste 7º a partir del meridiano de Greenwich respectivamente.